Are you interested in math?  This is what I taught today.  10th grade level in Japan.  Even if you cannot read Japanese language, math sign is the same all over the world, isn't it?



まず、”√２”が無理数の時、以下のような事実が
成り立ちます。これを利用します。

”ｐ、ｑ：実数”とすると、”ｐ＋ｑ・(√２)＝０”が成り
立つのは”ｐ＝ｑ＝０”の時に限ります。また、この逆
も成り立ちます。

”ａ、ｂ、ｃ：整数”なので、これらの任意の組み合わせの
加減乗除の結果は必ず”実数”になります。

”ｘ²－２ｘ－１＝０”の解を”α”とすると、これを解いて、
”ｘ＝１＋√２、１－√２”より、”α＝１＋√２”とします。
”α²＝(１＋√２)²＝３＋２√２”です。

”(ａ＋５α)(ｂ＋５ｃα)＝１”の左辺を展開します。
ａｂ＋５・(ｃａ＋ｂ)・α＋２５ｃ・α²＝１、これに
”α＝１＋√２”、”α²＝３＋２√２”を代入し、整理します。

ａｂ＋５・(ｃａ＋ｂ)・α＋２５ｃ・α²
＝ａｂ＋５・(ｃａ＋ｂ)・(１＋√２)＋２５ｃ・(３＋２√２)
＝ａｂ＋５・(ｃａ＋ｂ)＋(５√２)・(ｃａ＋ｂ)＋７５ｃ＋５０ｃ・(√２)
＝１

よって、以下のようになります。
(ａｂ＋５ｃａ＋５ｂ＋７５ｃ－１)＋(５ｃａ＋５ｂ＋５０ｃ)・(√２)＝０
・・・①

①がまさに、”ｐ＋ｑ・(√２)＝０”の形になっています。
よって、①が成り立つには、以下のようになっていなくてはいけません。
ａｂ＋５ｃａ＋５ｂ＋７５ｃ＝１ ・・・②
５ｃａ＋５ｂ＋５０ｃ＝０ ・・・③

③より、ｂ＝－ｃａ－１０ｃ ・・・③’、③’を②に代入します。
ａｂ＋５ｃａ＋５ｂ＋７５ｃ
＝ａ・(－ｃａ－１０ｃ)＋５ｃａ＋５・(－ｃａ－１０ｃ)＋７５ｃ
＝－ｃａ²－１０ｃａ＋５ｃａ－５ｃａ－５０ｃ＋７５ｃ
＝－ｃａ²－１０ｃａ＋２５ｃ＝１
よって、ｃ・(ａ²＋１０ａ－２５)＝－１ ・・・④

④より、”ｃ”、”ａ²＋１０ａ－２５”が共に整数になる組み合わせは
以下の２通りしかありません。

”ｃ＝１、ａ²＋１０ａ－２５＝－１”の時、
ａ²＋１０ａ－２４＝(ａ＋１２)(ａ－２)＝０、よって、ａ＝－１２、２
これらと”ｃ＝１”を③’に代入して、直ちに、ｂ＝２、－１２
よって、(ａ，ｂ，ｃ)＝(－１２，２，１)、(２，－１２，１)

”ｃ＝－１、ａ²＋１０ａ－２５＝１”の時、
ａ²＋１０ａ－２６＝０、この二次方程式の解は明らかに、整数には
なりません。よって、不適です。

”α＝１－√２”、”α²＝(１－√２)²＝３－２√２”の場合も、上記と
全く同様に、以下のようになります。
ａｂ＋５・(ｃａ＋ｂ)・α＋２５ｃ・α²
＝ａｂ＋５・(ｃａ＋ｂ)・(１－√２)＋２５ｃ・(３－２√２)
＝ａｂ＋５・(ｃａ＋ｂ)－(５√２)・(ｃａ＋ｂ)＋７５ｃ－５０ｃ・(√２)＝１
(ａｂ＋５ｃａ＋５ｂ＋７５ｃ－１)＋{－(５ｃａ＋５ｂ＋５０ｃ)}・(√２)＝０